学習教室講師の世界（その6）…幾何証明問題へのアプローチ方法
三重県県立高校の数学受験問題を見ていると、ここ数年の出題傾向として、最後にかなり難解な幾何の証明問題が出題されています。これをどう克服するかが、受験生の合否の大きな分かれ目になると感じます。今回、私なりに対策を考えてみましたが、幾何の証明問題では使われるパターンを覚えるのが良いように思われます。
Ⅰ． 平成30年度幾何学問題
(1) 合同証明問題（H30）
△AOE≡△DOH
・円の半径の線分は等しい AO＝DO
・対頂角は等しい ∡AOE＝∡DOH
・∡CABの二等分線より ∡CAG＝∡BAG
・弧CGの円周角 ∡CDG＝∡CAG＝∡BAG
・故に、1組の辺とその両端の角
(2) 相似証明問題（H30）
△ADH∽△GCE
・既出の合同条件対応する角度は等しい ∡AEO＝∡DHO
・対頂角が等しい ∡AEO＝∡CEG
・△ADO二等辺三角形 ⇒ 底角は等しい ∡OAD＝∡ODA
・弧ACに対する円周角 ∡ADC＝∡AGC
・2組の角度がそれぞれ等しい
(3) 線分OEの長さ
・条件よりAB=10cm、BC=6cm
・直径に対する円周角は90度
・三平方の定理 辺AC=8cm
・∡Aの二等分線から底辺の比を求める AC：AO＝CE：EO
・円の半径を比で分ける
(4) 線分AEと線分EGの長さの比
・方針として2つの三角形の相似の比を活用する
・相似となる三角形を見付ける △EAC＝△EGO
・相対する辺の比 AC：AO＝8：5
(5) △ADHと△GCEの面積比の問題
・面積比と底辺の関係を用いる
・△GEC：△AEC＝5：8
・△AEC：△AOE＝8：5
・△AOE：△ADO＝5：13
・△ADO：△ADH＝13：18
・△GEC＝5/8×△AEC＝5/8×8/5△AEO＝5/8×8/5×5/13×13/18△ADH
Ⅱ. 平成29年度幾何学問題
(1) 相似証明問題（H29）
△ACE∽△CDE
・∡Eは共通
・線分AEは∡CABの二等分線 ∡CAE＝∡BAE
・弧BEに対する円周角は等しい ∡BAE＝∡BCE
・故に、2組の角がそれぞれ等しい
(2) 合同証明問題（H29）
△AGF≡△DGB
・対頂角より ∡AGF＝∡BGD
・円の接線は半径に垂直 ∡GAF＝90°
・DF∥CAより同位角 ∡ACB＝∡GDB
・半円の弦に対する円周角は90度 ∡ACB＝90°
・DF∥ACより錯角 ∡CAD＝∡ADG
・線分ADは∡CABの二等分線 ∡CAD＝∡GAD
・△GADは二等辺三角形 AG＝DG
・故に、一組の辺とその両端の角が等しい。
(3) 線分AGの長さ
・条件よりAB=10cm、AC=4cm,
・△BGD∽△BAC AB：GB＝AC：GD ⇒ GD＝20/7
・△AGDは二等辺三角形 AG＝GD＝20/7
(4) △CDEと△AGFの面積比
・△ACBと△GDBより平行線と線分の比 AB:AG＝CB:CD ⇒ CD＝4/7√21
・△CDE∽△ACEより△ACE＝7/3△CDE
・△ACD＝△ACE－△CDE＝7/3△CDE－△CDE＝4/3△CDE
・△ABD＝5/2△ACD＝5/2・4/3△CDE
・△GDB＝5/7△ABD＝5/2・4/3・5/7△CED
・△AGF＝△GDB＝5/2・4/3・5/7△CED
・△CDE：△AGF＝1：50/21＝21：50
・△ABD＝5／3△ADC △ABD＝5／8△ABC
・△ABC＝8／3△ADC △ADC＝3／8△ABC
Ⅲ． 平成28年度幾何学問題
(1) 相似証明問題（平成28）
△ADC∽△CDF
・∡Dは共通な角
・弧BCに対する円周角 ∡BAC＝∡BEC
・BE∥CHより錯角が等しい ∡BEC＝∡FCE, ∡FCD＝∡BAC
・2組の角がそれぞれ等しい
(2) 合同証明問題（H28）
△AED≡△CEB
・仮定…AC=BC, AC=AD ⇒ BC＝AD
・弧BEに対する円周角 ∡BCE＝∡BAE
・弧ACに対する円周角 ∡AEC＝∡ABC
・三角形で２つの角が等しければ残りの角も等しい ∡ADE＝∡BDC
・故に、1組の辺とその両端の角が等しい
(3) 線分EH
・AO=4cm
・△ABCは直角二等辺三角形 ⇒ AB⊥CO
・三平方の定理から AC＝4√2
・円弧BCに対する円周角は等しい ∡BAC＝∡BEC＝45°
・CH∦BEより錯角が等しい ∡BEC＝∡HCE＝45°これは弦EHの円周角
・弦EHの中心角は∡HOE＝90°EH＝4√2
(4) △CGEの面積
・△ACF≡△BCD前提
・△CGE＝△CHE－△GHE
・△CHEの面積=1/2×底辺4√2×高さ（4＋2√2）＝8＋8√2
・△GHEの面積は△ABEとの相似関係から求める
・相似比 AB：HE＝8：4√2＝1：4√2／8＝1：√2
・面積比 △GHE：△ABE＝（12）：（√22）=1：2
・△GHEの面積＝1/2×△ABE＝1/2×1/2×（8×2√2）＝4√2
・△CGE＝△CHE－△GHE＝8＋8√2－4√2＝8＋4√2
Ⅳ． 平成27年度幾何学問題
(1) 合同証明4（H27）
△ADB≡△CFB
・仮定 AD=CF
・△ABCは正三角形だから、辺の長さは等しい AB＝BC
・弧BDに対する円周角 ∡BAD＝∡BCD
・故に、2組の辺とその間の角が等しい
(2) 相似証明（H27）
△BFE∽△CHG
・弧AHに対する円周角 ∡ABH＝∡HCA
・△ADB≡CFBより、対応する辺は等しい BF＝BD
・△BFDは二等辺三角形 ∡BDF＝∡BFD
・弧BCに対する円周角 ∡BDC＝∡BHC
・故に、2組の角がそれぞれ等しい
(3) 線分CEと線EDの長さの比
・与えられた条件 AB=10cm, AB : DB＝3：2
・△ADB≡△CFBより、BD＝BF、∡DBF＝∡EBC＝60度 （△ABC：正三角形）
・△DBFは正三角形になり、∡BFD＝60度
・また、弧ACの円周角より、∡ADF＝∡ABC＝60度
・∡ADF＝∡DFB 錯角は等しいのでAD∥BF
・△ADE∽△BFEより、DE：FE＝AD：BF＝3：2 よってDE：EF＝3：2
・AD=CF=③、DB=BF=FD=②、DE : EF＝[3] : [2]
・DE=②×[3]/[5]、EF=②×[2]/[5]
・DE : EF : FC=②×[3]/[5] : ②×[2]/[5] : ③＝6 :4 : 15
・DE : EC= 6 :19
(4) △CFBの面積
・△ABCは正三角形なので、頂点Aから辺BCに垂線を引き、その交点をIとする。
・△ABIは60度の角度を持つ直角三角形なので、三平方の定理より、AI＝5√3
・よって△ABC＝25√3
・△ADE∽△BFEで相似比は3：2より、△EBC＝2/5△ABC＝10√3
・CF：FE＝15：4より△CFB＝15/19△EBC
Ⅴ． 平成26年度幾何学問題
(1) 相似証明（平成26）
△AOH∽△ABG
・共通な角 ∡OAH＝∡BAG
・仮定 ∡AOH＝1/2△AOB
・１つの弧に対する円周角と中心角の関係より、∡ACB＝1/2∡AOB
・∡AOH＝∡ACB
・△ABCは二等辺三角形だから、∡ABG＝∡ACB、∡AOH＝∡ABG
・故に、2組の角がそれぞれ等しい
(2) 合同証明問題（平成26年）
△ACF≡△ADF
・共通 AF＝AF
・仮定から AC＝AD
・△ACDは二等辺三角形より、∡ACD＝∡ADC
・△ABDは二等辺三角形より、∡ABD＝∡ADB
・弧AFに対する円周角の大きさは等しいから、∡ABF＝∡ACF
・∡ACF＝∡ADB、∡FCD＝∡FDC
・△FCDは二等辺三角形より、FC＝FD
・故に、3組の辺がそれぞれ等しい
(3) 線分OG
・条件より AB=10cm, BC=12cm
・△ABCは二等辺三角形なので頂点Aの二等分線は底辺と直角に交わる
・直角三角形ができれば、三平方の定理で計算可能。 ⇒ AG＝8
・△AOH∽△ABGより、AH：AG＝AO：AB ⇒ AO＝25/4
・よってOG＝7/4
(4) △AEFと△ADFの面積比
・△BFCでの中点連結定理より、FC＝2OG, OG∥FC ⇒ よってFC＝7/2
・OG∥FCより、△AOE∽△CFE ⇒ AE：CE＝AO：CF＝25：14
・よって△AEF：△CEF：△ACF＝25：14：39
・△ACF≡△ADFより、△AEF：△ADF＝25：39
幾何の証明問題は、その証明ルートを幾つかのパターンに分類できることが分りました。このパターンを覚えてしまうことが、幾何の証明問題をクリアする1つの方法であると思いますが、皆さんどう思われますか。