コーヒーブレイク…四則演算による有効数字の桁数の変化
物理の問題で良く出てくる『有効数字』とは、「誤差が入っていても、測定値としての信頼性が高い桁の数字」のことでした。物理では、精度良く測定値を求めるだけではなく、測定値を使って色々な計算をすることがあります。
例えば、m [kg]の物体を加速度a [m/s2]で動かすとき、必要な力Fはいくらでしょうか？と聞かれたら、運動方程式F＝m×aにmとaの測定値を代入します。m＝1.23 kg(有効数字3桁)とa＝4.5 m/s2(有効数字2桁)だったら、掛け算した結果の有効数字はどう答えたら良いのでしょうか？
四則演算(足し算・引き算・掛け算・割り算)する場合の有効数字の決め方には、ちゃんとルールがあります。では、その計算ルールを見ていきます。
和と差の有効数字
測定値同士を足し算や引き算した結果にも、有効数字はあるはずです。その有効数字の桁数の決め方について説明します。足し算の答えは『和』、引き算の答えは『差』と言います。測定値同士の和や差の有効数字を決めるには、第何位まで有効な数字があるかをチェックします。
「和や差は、測定値の最後(最小)の桁の位が一番高いものに合わせる」というルールがあります。従って、下記の順番で計算することになります。
Step1. 各測定値が第何位まで有効か確認する
Step2. 測定値の和や差を計算する
Step3. 和や差が一番高い位まで有効になるように四捨五入する(計算の途中で四捨五入しない！）
以下、例で考えてみます。12.3と0.456という測定値の和を計算します。
Step1. 12.3は小数第1位まで有効
Step2. 0.456は小数第3位まで有効
なので、和は小数第1位まで有効となります。ですから、和である12.756は、小数第2位の5を四捨五入して、小数第1位までの12.8となるわけです。
次は、12.3と0.456という測定値の差を計算します。計算ルールは、和を求めるときと同じです。「和や差は、測定値の最後(最小)の桁の位が一番高いものに合わせる」です。
和と差の有効数字の桁数は、もとの数値の桁数と同じになるとは限りません。実は、増減することがあります。例えば、9.3と2.7という測定値の和を計算してみます。
9.3＋2.7＝12.0
9.3も2.7も小数第1位まで有効です。なので、和は小数第1位まで有効です。12.0の最後の0は省略してはいけません。
さて、9.3も2.7も有効数字2桁なのに、和の12.0は有効数字3桁です。ルール通りに和を計算すると、有効数字の桁数が増えちゃいました。計算して桁が繰り上がると、有効数字の桁数が増えることがあります。よくあることなので心配ないです。
次は、5.02と5.01という測定値の差を計算してみます。
5.02－5.01＝0.01＝1×10-2
5.02も5.01も小数第2位まで有効です。なので、差は小数第2位まで表記されています。
でも、5.02も5.01も有効数字3桁なのに、差の0.01＝1×10-2は有効数字1桁です。ルール通りに計算すると、有効数字の桁数が減っちゃいました。
このように、有効数字の桁数が減ることを『桁落ち』と言います。値がとても近い数字同士を引き算すると起きやすいです。数値の信頼性が減るのでもったいない気がしますが、ルール通りなので問題はないです。
ただし、3つ以上の測定値をまとめて計算する場合は注意してください。計算の途中で桁落ちすると、最終的な計算結果の有効数字が減ってしまいます。そんなときは、値がとても近い数字同士の引き算を後回しにすると、桁落ちを避けられる場合があります。
積と商の有効数字
数値同士を掛け算や割り算した結果にも、有効数字はあるはずです。その有効数字の桁数の決め方について、説明します。掛け算の答えは『積』、割り算の答えは『商』と言います。
数値同士の積や商の有効数字を決めるには、有効数字が何桁あるかをチェックします。
「積や商は、数値の有効数字の桁数の一番小さいものに合わせる」というルールなんです。 従って、こんな順番で計算していきます。
Step1. 各数値の有効数字の桁数を確認する
Step2. 数値の積や商を計算する
Step3. 積や商の有効数字の桁数が一番小さいものと合うように四捨五入する(計算の途中四捨五入しない！)
例えば、12.34と7.65という測定値の積を計算します。12.34の有効数字は4桁7.65の有効数字は3桁なので、積の有効数字は少ない方の3桁に合わせます。ですから、積である94.4010は、4桁目の0を四捨五入して、有効数字3桁の94.4となるわけです。
次は、1234と756という測定値の商を計算します。計算ルールは、積を求めるときと同じです。
ここまでは、測定値同士の計算でした。ですが、物理の計算では、公式に測定値を代入して計算することがあります。定数×測定値、となるような計算のことですよ。
測定値同士ではなく、定数と測定値の計算をしたときは、有効数字をどうやって決めたら良いのでしょうか？
定数の有効数字は無限桁です。ある円の半径を測定すると、2.3 cmでした。この円の直径を計算します。半径r cmの直径dは、d＝2×rです。すると、d＝2×2.3＝4.6 cmになります。「2.3は有効数字2桁ですけど、2は有効数字1桁だから、答えは有効数字1桁にならないんですか？」という疑問が出ますが、この場合は測定値の有効数字2桁に合わせて答えるんです。
実は、定数の「2」は、有効数字1桁ではないんです。半径の「2」倍という意味で、1.9倍でも2.1倍でもありません。厳密に「2」倍と確定した値です。確定した値とは、2.0000・・・のように有効数字が無限桁になるということなんです。つまり、定数と測定値の計算は、有効数字が無限桁の数字(定数)と測定値との計算になります。なので、計算結果の有効数字の桁数は、測定値のものに合わせるわけです。
では、体重52 kgと56 kgの2人の平均体重を計算してみましょう。2人は1.9人でも2.1人でもありません。52も56も有効数字2桁ですから、答えも有効数字2桁になります。(52 kg＋56 kg)÷2＝54 kgですね。
和と差、積と商では、有効数字を決めるルールが違います。皆さん混乱しないように、何度も復習して理解してください。